02.02.04 – Sviluppo della funzione J

Il famoso sviluppo di Legendre permette di sviluppare la parte diretta della funzione di perturbazione in serie di potenze di ɑ = a/a’ . Questo metodo è impraticabile quando ɑ ha un valore non piccolo. Se tale valore non è piccolo, ma ben lontano da 1, si può attuare uno sviluppo secondo un’espressione (che io chiamo J) che è la differenza fra il coseno dell’angolo fra i raggi vettori dei due astri (perturbato, perturbante) e il coseno della differenza fra le rispettive longitudini vere. Ho imparato questa tecnica dal celebre libro “Solar System Dynamics” (1999) di Carl D. Murray e Stanley F. Dermott. Ho realizzato lo sviluppo Ji in modo che assomigli a quello con i polinomi di Legendre Pn. In effetti, Murray e Dermott sono riusciti ad introdurre anche in questo caso le funzioni F di Kaula; però questo metodo tratta Ji come Pn, calcolando i monomi a partire dall’ordine 0. Ji, invece, ha i monomi che partono dall’ordine 2i: può sembrare una questione irrilevante (dopotutto, il programma di Murray e Dermott funziona ugualmente, perché i termini di grado inferiore a 2i risultano nulli) ma per il mio modo di allestire le formule questa discrepanza doveva essere risolta. Ho modificato ad hoc gli estremi di una sommatoria e, formalmente, il problema appariva risolto. Non soddisfatto di questo trucco, ho affrontato lo sviluppo algebrico diretto della complicata espressione J; ho faticato prima di trovare uno procedimento soddisfacente, che richiede una sommatoria in più rispetto a quello basato sulle funzioni di Kaula, e introduce delle nuove funzioni G. La buona notizia è che ho ottenuto con questi metodi diretti le sommatorie esatte, che fanno partire i monomi dall’ordine 2i, esattamente come avevo supposto nella mia correzione. Tutto bene, dunque. Il calcolo dei coefficienti dei monomi, basato sulle funzioni G, è un po’ più lento di quello basato sulle funzioni F. Ho deciso di utilizzare quest’ultimo, non solo per ottenere una modesta riduzione dei tempi di calcolo, ma soprattutto perché le funzioni F sono comunque indispensabili per calcolare lo sviluppo della parte indiretta della funzione di perturbazione: non mi sembra logico introdurre le nuove funzioni G, quando le F vanno bene per tutto. Concludendo, il programma che ho adottato unisce il meglio dei due metodi: la struttura algebrica è presa dallo sviluppo binomiale, il calcolo numerico dei coefficienti invece dalla teoria di Pn e F.

Lista dei simboli ➤

Raccolta delle formule principali