XVI. An Explanation of the Observed Irregularities in the Motion of Uranus, on the Hypothesis of Disturbances caused by a more Distant Planet; with a Determination of the Mass, Orbit, and Position of the Disturbing Body.
By J. C. Adams, Esq. M.A. F.R.A.S. Fellow of St. John’s College, Cambridge, and Fellow of the Cambridge Philosophical Society.
Read November 13, 1846.
1. Le irregolarità nei moti di Urano hanno a lungo attirato l’attenzione degli astronomi. Quando il percorso del pianeta divenne noto approssimativamente, si scoprì che, prima della sua scoperta da parte di Sir W. Herschel nel 1781, era stato osservato più volte come stella fissa da Flamsteed, Bradley, Mayer e Lemonnier. Sebbene queste osservazioni siano senza dubbio di gran lunga inferiori in accuratezza a quelle moderne, devono essere considerate preziose, in conseguenza della grande estensione che conferiscono all’arco osservato dell’orbita del pianeta. Bouvard, tuttavia, a cui dobbiamo le tavole di Urano attualmente in uso, scoprì che era impossibile soddisfare queste osservazioni senza attribuire alle osservazioni moderne errori molto maggiori di quelli che esse ammettono, e di conseguenza basò le sue tavole esclusivamente su queste ultime. Ma, nel giro di pochi anni, errori sensibili tornarono a manifestarsi e, sebbene le tavole siano state redatte di recente, nel 1821, il loro errore attualmente supera i due minuti di spazio e continua a crescere rapidamente. Non sembrava quindi più esserci alcuna ragione sufficiente per rifiutare le antiche osservazioni, soprattutto perché, ad eccezione della prima osservazione di Flamsteed, che è anteriore di oltre vent’anni a tutte le altre, esse si confermano a vicenda.
2. Ora che la scoperta di un altro pianeta ha confermato nel modo più brillante le conclusioni dell’analisi e ci ha permesso di ricondurre con certezza queste irregolarità alla loro vera causa, non è necessario che io mi dilunghi sulle ragioni che mi hanno portato a respingere le varie altre ipotesi formulate per spiegarle. Basti dire che tutte sembravano di per sé molto improbabili e impossibili da verificare con calcoli esatti. Alcuni avevano persino supposto che, alla grande distanza di Urano dal Sole, la legge di attrazione diventi diversa da quella dell’inverso del quadrato della distanza. Ma la legge di gravitazione era troppo saldamente consolidata perché ciò potesse essere ammesso prima che ogni altra ipotesi fosse fallita, ed ero convinto che in questo, come in ogni precedente caso del genere, le discrepanze che per un certo periodo avevano gettato dubbi sulla verità della legge, ne avrebbero infine fornito la più lampante conferma.
3. La mia attenzione si è rivolta per la prima volta a questo argomento diversi anni fa, leggendo il prezioso Rapporto del signor Airy sui recenti progressi dell’astronomia. Trovo tra le mie carte il seguente promemoria, datato 3 luglio 1841: “Ho formulato il progetto, all’inizio di questa settimana, di indagare, il prima possibile dopo aver conseguito la laurea, sulle irregolarità nel moto di Urano, che non sono ancora state spiegate, al fine di scoprire se possano essere attribuite all’azione di un pianeta non ancora scoperto al di là di esso, e, se possibile, determinare approssimativamente gli elementi della sua orbita, ecc., che probabilmente porterebbero alla sua scoperta”. Di conseguenza, nel 1843, tentai una prima soluzione del problema, assumendo che l’orbita fosse circolare, con un raggio pari al doppio della distanza media di Urano dal Sole. In un primo momento, era chiaramente necessario formulare alcune ipotesi sulla distanza media, e la legge di Bode sembrava rendere probabile che quanto sopra non fosse lontano dalla verità. Questa ricerca si basava esclusivamente sulle osservazioni moderne, e gli errori delle tabelle furono desunti da quelli indicati nelle equazioni di stato delle tavole di Bouvard fino all’anno 1821, e successivamente dalle osservazioni riportate negli Astronomische Nachrichten e dalle Osservazioni di Cambridge e Greenwich. Il risultato dimostrò che si poteva ottenere un buon accordo generale tra teoria e osservazione; ma poiché le differenze maggiori si verificavano in anni in cui le osservazioni utilizzate erano carenti di numero, e le Osservazioni Planetarie di Greenwich erano allora in fase di riduzione, mi rivolsi al signor Airy, tramite il gentile intervento del professor Challis, per le osservazioni di alcuni anni in cui l’accordo appariva meno soddisfacente. L’Astronomo Reale, con la massima cortesia possibile, mi inviò nel febbraio 1844 i risultati di tutte le Osservazioni di Urano di Greenwich.
4. Nel frattempo, la Reale Accademia delle Scienze di Gottinga aveva proposto la teoria di Urano come argomento del loro premio di matematica, e sebbene il poco tempo che potevo dedicare agli importanti incarichi universitari mi impedisse di tentare l’esame completo della teoria che un concorso per il premio avrebbe richiesto, tuttavia questo fatto, insieme al possesso di una serie di osservazioni così preziosa, mi spinse a intraprendere una nuova soluzione del problema. Ora presi in considerazione i termini più importanti dipendenti dalla prima potenza dell’eccentricità del pianeta perturbatore, mantenendo la stessa ipotesi di prima rispetto alla distanza media. Per le osservazioni moderne, gli errori delle tabelle furono tratti esclusivamente dalle Osservazioni di Greenwich fino all’anno 1830, con l’eccezione di un’osservazione di Bessel del 1823; e successivamente dalle Osservazioni di Cambridge e Greenwich, e da quelle riportate in vari numeri degli Astronomische Nachrichten. Gli errori delle tabelle per le osservazioni antiche furono tratti da quelli riportati nelle equazioni di condizione delle tavole di Bouvard. Dopo aver ottenuto diverse soluzioni poco diverse tra loro, tenendo gradualmente conto di un numero sempre maggiore di termini della serie che esprime le perturbazioni, nel settembre del 1845 comunicai al Professor Challis i valori finali che avevo ottenuto per la massa, la longitudine eliocentrica e gli elementi dell’orbita del presunto pianeta. Gli stessi risultati, leggermente corretti, li comunicai il mese successivo all’Astronomer Royal. Poiché l’eccentricità risultò molto maggiore del probabile, e osservazioni successive mostrarono che la teoria fondata sulla prima ipotesi sulla distanza media era ancora sensibilmente errata, ripetei in seguito la mia indagine, supponendo che la distanza media fosse circa 1/30 di parte inferiore a prima. Il risultato, che comunicai al Sig. Airy all’inizio di settembre di quest’anno, apparve più soddisfacente del precedente, essendo l’eccentricità minore e gli errori della teoria, rispetto alle osservazioni successive, minori, e mi indusse a dedurre che la distanza dovesse essere ulteriormente diminuita.
5. Nel novembre del 1845, M. Le Verrier presentò alla Reale Accademia delle Scienze di Parigi un’indagine molto completa ed elaborata sulla teoria di Urano, perturbato dall’azione di Giove e Saturno, in cui evidenziava diverse piccole disuguaglianze precedentemente trascurate; e nel giugno di quest’anno, diede seguito a questa indagine con una memoria, in cui attribuiva le perturbazioni residue all’azione di un altro pianeta a una distanza dal sole pari al doppio di quella di Urano, e trovò una longitudine per il nuovo pianeta che concordava quasi del tutto con il risultato che avevo ottenuto con la stessa ipotesi. Il 31 agosto, presentò all’Accademia un’indagine più completa, in cui determinò la massa e gli elementi dell’orbita del nuovo pianeta, e ottenne anche valori limite della distanza media e della longitudine eliocentrica. Menzione queste date semplicemente per dimostrare che i miei risultati sono stati ottenuti indipendentemente e prima della pubblicazione di quelli di M. Le Verrier, e non con l’intenzione di interferire con le sue giuste pretese sugli onori della scoperta; perché non c’è dubbio che le sue ricerche furono pubblicate per prime al mondo e portarono all’effettiva scoperta del pianeta da parte del Dr. Galle, cosicché i fatti sopra esposti non possono sminuire minimamente il merito dovuto a M. Le Verrier.
6. Per non avere un numero eccessivo di equazioni di condizione, ho suddiviso le osservazioni moderne in gruppi, ciascuno comprendente un periodo di tre anni, e poiché il signor Airy aveva dimostrato che l’errore del raggio vettore tabulare era talvolta considerevole, ho selezionato le osservazioni effettuate in prossimità dell’opposizione, oppure ho combinato le altre in modo tale che i risultati fossero quasi esenti dagli effetti di tale errore. Dalle osservazioni di ciascun gruppo, è stato calcolato l’errore delle tabelle in longitudine eliocentrica, corrispondente al momento dell’opposizione media nell’anno centrale del gruppo. Sono stati così formati 21 errori normali delle tabelle, corrispondenti ad altrettanti periodi equidistanti tra il 1780 e il 1840. L’errore per il 1780 è stato calcolato interpolando tra gli errori del 1781, 1782 e 1783 e quelli forniti dalle antiche osservazioni del 1769 e del 1771; e sebbene non abbia lo stesso peso degli altri, non può, a mio avviso, essere soggetto a molta incertezza. Nei miei ultimi calcoli avrei potuto utilizzare osservazioni più recenti, ma per ottenere l’effetto dovuto alla variazione della distanza media, era necessario che l’indagine fosse fondata sugli stessi elementi di prima e che le osservazioni successive potessero essere utilizzate come verifica della teoria.
7. Per accertarmi che non vi fossero errori significativi nelle tavole di Bouvard, ho ricalcolato tutte le principali disuguaglianze prodotte dall’azione di Giove e Saturno, e non ho riscontrato alcuna differenza significativa, tranne che nell’equazione che dipende dalla longitudine media di Saturno meno il doppio di quella di Urano, il cui errore era già stato segnalato da Bessel. Anche l’equazione principale che dipende dall’azione di Giove ha richiesto una correzione, in seguito al valore aumentato recentemente ottenuto per la massa di quel pianeta. Le correzioni da applicare alle tavole di Bouvard in base a questi calcoli sono le seguenti: ||| essendo le longitudini medie di Giove, Saturno e Urano, rispettivamente. Nella riduzione delle osservazioni di Greenwich, quest’ultima correzione era già stata presa in considerazione. Avendo M. Hansen trovato anche alcune nuove disuguaglianze nel moto di Urano, dipendenti dal quadrato della forza perturbatrice, ne ricalcolai i valori seguendo lo stesso metodo fornito da M. Delaunay nel Conn. des Temps del 1845, e i miei risultati concordarono molto strettamente con i suoi, con i termini da aggiungere alla longitudine che erano ||| Per quanto riguarda le disuguaglianze di ordine superiore trascurate da Bouvard, ritenevo che le più importanti sarebbero state quelle di lungo periodo o quelle il cui periodo era quasi uguale a quello di Urano. Durante i tre quarti di una rivoluzione del pianeta, gli effetti della prima classe si confondevano quasi con quelli derivanti da una variazione dell’epoca e del moto medio, e quelli della seconda classe con gli effetti prodotti da una variazione costante dell’eccentricità e della longitudine del perielio. La posizione del pianeta da determinare sarebbe quindi poco influenzata da questi termini, e gli altri sarebbero probabilmente molto più piccoli di quelli che verrebbero necessariamente trascurati in una prima approssimazione delle perturbazioni prodotte dal nuovo pianeta.
8. Tenendo conto delle varie correzioni sopra menzionate, le differenze residue tra le longitudini eliocentriche teoriche e quelle osservate erano le seguenti: |||
9. Si vede facilmente che la serie che esprime la correzione della longitudine media in termini di correzioni applicate agli elementi dell’orbita è più convergente di quella che fornisce la correzione della longitudine vera, e lo stesso vale per le perturbazioni della longitudine media, rispetto a quelle della longitudine vera. Le correzioni trovate sopra sono state di conseguenza convertite in correzioni della longitudine media moltiplicando ciascuna di esse per il fattore — r essendo il raggio vettore, e a e b i semiassi dell’orbita. Quindi queste ultime correzioni sono risultate essere le seguenti: ||| Questi numeri costituiscono la base delle indagini successive.
10. Se con ||| e ||| indichiamo le correzioni da applicare agli elementi tabulari di Urano, la correzione della longitudine media in ogni istante t è ||| Se includiamo il termine piccolo ||| nella quantità -, questa correzione può essere espressa nella seguente forma: ||| in cui espressione |||
11. Inoltre, adottando la notazione della Théorie Analytique di Pontécoulant, le perturbazioni della longitudine media ||| Dove le lettere accentate appartengono al pianeta perturbatore, i assume tutti i valori interi, positivi e negativi, tranne zero, e se poniamo i (n — n) = z, i valori di F, G e H sono i seguenti: |||
12. Ora, se assumiamo |||, i valori delle grandezze fondamentali ||| saranno ||| Quindi le principali disuguaglianze di longitudine media, prodotte dall’azione di un pianeta la cui massa è |||, quella del sole essendo unitaria, e l’eccentricità della cui orbita è —- saranno le seguenti: ||| A queste si possono aggiungere le seguenti, che sono di due dimensioni in termini di eccentricità: ||| Queste espressioni possono essere espresse nella seguente forma: |||
- Si prenda come epoca da cui calcolare t il momento dell’opposizione media nel 1810; questa data, espressa in parti decimali di un anno, sarà 1810,328. Inoltre, si prendano 3 periodi sinodici di Urano, = 3,0362 anni, per l’unità di tempo; allora la variazione dell’anomalia media in un’unità di tempo sarà ||| Quindi le equazioni di condizione fornite dalle osservazioni moderne saranno della forma ||| in cui t assume tutti i valori interi da — 10 a + 10 in successione, e i diversi valori di c” sono contenuti nella tabella riportata nell’Articolo 9.
- Le equazioni finali per le correzioni degli elementi ellittici si troveranno moltiplicando ciascuna equazione successivamente per i coefficienti di ||| che vi compaiono, e sommando i diversi risultati. Si trattino le equazioni in modo analogo con riferimento alle quantità |||. Si vedrà che, in conseguenza della disposizione data alle equazioni di condizione, le equazioni così formate si separano naturalmente in due gruppi, uno dei quali riguarda solo ||| con le quantità h e p, mentre l’altro riguarda ||| con le quantità k e q. Anche i coefficienti di queste equazioni si calcolano facilmente con le seguenti formule, ponendo = 10 nel membro di destra: |||
- Eseguendo i calcoli, le equazioni del primo gruppo risultano essere le seguenti: |||
- Per mezzo di (1) eliminare ||| da ciascuna delle altre equazioni, e queste ultime diventano |||
- Ancora, per mezzo di (x) eliminiamo – da ciascuna delle altre equazioni e troviamo |||
- Allo stesso modo, le equazioni del secondo gruppo risultano essere |||
- Per mezzo di (n) eliminiamo ||| da ciascuna delle altre equazioni e abbiamo |||
- Ancora, eliminando ||| per mezzo di (y) troviamo |||
- Dalle equazioni rimanenti nei due gruppi dopo l’eliminazione di ||| sarà facile, una volta trovati valori approssimativi della massa e della longitudine media del pianeta perturbatore, dedurre le equazioni finali per determinare queste grandezze in modo più accurato con il metodo dei minimi quadrati. Si può osservare, tuttavia, che le equazioni in ciascun gruppo sono pressoché identiche tra loro, e quindi si possono formare due equazioni finali semplicemente sommando le diverse equazioni di ciascun gruppo, dopo aver dato alle incognite lo stesso segno in tutte. Pertanto troviamo |||
- Se nelle espressioni date prima per ||| sostituiamo ||| otteniamo ||| Sostituendo questi valori nelle equazioni (x) e (y), e in quelle appena trovate, si può vedere che aggiungendo a queste ultime equazioni verrà eliminato ||| e otterremo le seguenti equazioni: |||
- Queste equazioni sarebbero sufficienti per determinare la massa del pianeta perturbatore e la sua longitudine all’epoca, se si trascurasse l’eccentricità dell’orbita. Procederemo ora a trovare equazioni dalle antiche osservazioni per determinare l’eccentricità e la longitudine del perielio. Le equazioni di condizione fornite dalle antiche osservazioni sono le seguenti:
- Da ciascuna di queste equazioni eliminiamo ||| per mezzo delle equazioni ||| trovate prima, e abbiamo quanto segue: |||
- I termini più grandi, dipendenti dall’eccentricità del pianeta perturbatore, si trovano in p1, q1; sarà quindi opportuno combinare le equazioni precedenti in modo tale che queste quantità assumano i coefficienti più grandi possibili. Ciò si otterrà moltiplicando ciascuna equazione per una quantità quasi proporzionale al coefficiente di ciascuna delle incognite p1 e q1, e sommando i diversi risultati. Si ritenne poco sicuro utilizzare la prima delle equazioni precedenti, poiché deriva dall’unica osservazione di Flamsteed fatta nel 1690, ventidue anni prima di qualsiasi altra osservazione. Pertanto, l’equazione per trovare p può essere formata moltiplicando le equazioni precedenti, prese nell’ordine, per ||| a partire dalla seconda; e l’equazione per q1 moltiplicando le stesse equazioni per |||. Quindi otteniamo |||
- Eliminando ||| da queste equazioni mediante (x) e (y) diventano ||| Queste equazioni, con (1) e (2) dell’articolo 22, bastano per la soluzione del nostro problema.
- Eliminare i membri di sinistra dalle equazioni |||, mediante l’equazione (1), e abbiamo |||
- Se ora poniamo |||, si vede facilmente che |||
- Sostituendo queste espressioni nelle equazioni dell’articolo 27 e ponendo ||| otteniamo, dopo una leggera riduzione, ||| dove i numeri racchiusi tra parentesi indicano i logaritmi dei coefficienti corrispondenti.
- Queste equazioni possono essere risolte rapidamente per approssimazione. Essendo piccoli i coefficienti di ||| nella prima equazione, possiamo ricavarne un valore approssimativo di |||, la cui sostituzione nella seconda e terza equazione darà valori approssimativi di |||. Per mezzo di questi, si può ricavare un valore di t più accurato dalla prima equazione e, ripetendo il processo, ci permetterà di soddisfare tutte le equazioni con la massima approssimazione. Così troviamo ||| Ora s è noto e ||| la longitudine media del pianeta perturbatore all’epoca 1810.328. Il moto siderale in 36 periodi sinodici di Urano = 55°12′, precessione = 30′, longitudine media al tempo 1846.762, o 6 ottobre 1846, = 325°7′. Inoltre, le espressioni analitiche per ||| sono ||| = 445= dove ||| . Uguagliando questi valori ai valori sopra riportati, otteniamo ||| . Quindi longitudine del perielio nel 1846 = 325° 7′
Infine, sostituendo i valori appena ottenuti nell’equazione (1), otteniamo m’ = 0,82816. - Quindi i valori della massa e degli elementi dell’orbita del pianeta perturbatore, risultanti dalla prima ipotesi sulla distanza media, sono i seguenti:||| Questi sono i risultati che ho comunicato all’Astronomo Reale nell’ottobre 1845.
- Intrapresi poi un’indagine simile, basata sul presupposto che la distanza media fosse circa 1/30 inferiore a quella precedente, cosicché ||| Il metodo impiegato era, in linea di principio, esattamente lo stesso di quello indicato in precedenza; ma i calcoli numerici furono in qualche modo abbreviati da alcune modifiche al processo, che erano state suggerite dalla mia soluzione precedente.
- Supponendo quindi che |||, i valori delle quantità ||| saranno ||| Quindi, per mezzo delle formule date prima, le principali disuguaglianze della longitudine media di Urano, prodotte dall’azione di un pianeta la cui massa =446= è m’/5000, quella del sole essendo unitaria, e la cui eccentricità orbita è e’/20, possono essere trovate come segue: ||| A queste possiamo aggiungere le seguenti, che sono di due dimensioni in termini di eccentricità: |||
- Ora, sulla base della nostra attuale ipotesi, |||. Quindi le equazioni di condizione fornite dalle osservazioni moderne saranno della forma |||
- Trattando queste equazioni di condizione nello stesso modo di prima, le equazioni del primo gruppo, derivate da esse, risultano essere le seguenti: |||
- Allo stesso modo le equazioni del secondo gruppo sono |||
- Le equazioni ||| del primo gruppo e ||| del secondo non sono state formate, poiché la nostra soluzione precedente mostrava che, eliminando |||, i coefficienti delle incognite rimanenti in queste equazioni sarebbero stati estremamente piccoli. Sarà preferibile combinare le equazioni ||| prima, anziché dopo, l’eliminazione di ||| da esse. Se quindi cambiamo il segno della terza equazione in ciascun gruppo e lo aggiungiamo alla quarta e alla quinta, otteniamo |||
- Per mezzo di ||| degli articoli 35 e 36, eliminiamo ||| da {x) e (y), e anche dalle equazioni appena trovate, e abbiamo |||
- Sostituendo a ||| i loro valori in termini di |||, troviamo ||| Quindi, se aggiungiamo alle ultime due equazioni |||, ||| verrà eliminato e otterremo le seguenti equazioni:
- Ancora, le equazioni di condizione fornite dalle antiche osservazioni sono |||
- L’equazione per trovare p può essere formata come prima, moltiplicando le equazioni precedenti prese in ordine per |||, iniziando dalla seconda; e l’equazione per q moltiplicando le stesse equazioni per |||. Otteniamo quindi |||
- Eliminare ||| mediante (e) e (n) degli articoli 35 e 36, e queste equazioni diventano |||
- Sostituendo a ||| i loro valori in termini di |||, troviamo ||| Quindi, se alle equazioni appena trovate aggiungiamo ||| e ||| saranno eliminati, e otterremo le seguenti equazioni: |||
- Eliminando i membri di sinistra dalle equazioni (2), (3) e (4) degli articoli 39 e 43, mediante l’equazione (1) abbiamo |||
- Se, come prima, poniamo |||, si può vedere che |||
- Sostituendo queste espressioni nelle equazioni precedenti e sostituendo ||| con il suo valore, |||, otteniamo ||| dove i numeri racchiusi tra parentesi indicano i logaritmi dei coefficienti corrispondenti, come prima.
- Da queste equazioni, con lo stesso metodo di prima, troviamo ||| Quindi, poiché |||, la longitudine media del pianeta perturbatore all’epoca 1810.328. Il moto siderale in 36 periodi sinodici di Urano = 57° 42′, la precessione = 30′, la longitudine media al tempo 1846.762, o 6 ottobre 1846, = 323° 2′. Inoltre, le espressioni per ||| sono |||. Uguagliando queste ai valori sopra riportati, troviamo |||. Quindi la longitudine del perielio nel 1846 = 299° 11′. Infine, sostituendo i valori appena ottenuti nell’equazione (i) dell’Articolo 39, troviamo m’ = 0,75017.
- Quindi i valori della massa e degli elementi dell’orbita del pianeta perturbatore, risultanti dalla seconda ipotesi sulla distanza media, sono i seguenti: |||
- Dai valori di ||| trovati sopra, si determinano immediatamente i valori di ||| corrispondenti a ciascuna ipotesi. Pertanto troviamo |||
- E sostituendo questi valori nelle equazioni |||, otteniamo ||| Si noterà che le correzioni dell’eccentricità e della longitudine del perielio variano molto rapidamente al variare della distanza media assunta.
- Sostituendo queste quantità nelle espressioni sopra riportate, otteniamo le seguenti correzioni teoriche della longitudine media, ciascuna delle quali è divisa in due parti, di cui la prima è dovuta ai cambiamenti negli elementi dell’orbita di Urano, e la seconda all’azione del pianeta perturbatore. |||
- Confrontando queste con le correzioni della longitudine media derivate dall’osservazione, troviamo che le differenze rimanenti sono le seguenti: ||| La differenza più grande nella tabella sopra, vale a dire quella del 1771, è dedotta da una singola osservazione; mentre la differenza immediatamente precedente, che è dedotta dalla media di diverse, è molto piccola.
- I risultati delle due teorie concordano molto strettamente tra loro e con l’osservazione, fino ad arrivare agli ultimi anni della serie; ed è da osservare che la differenza tra le teorie diventa sensibile proprio nel punto in cui entrambe mostrano sintomi di divergenza dalle osservazioni, essendo tuttavia gli errori della seconda ipotesi minori di quelli dell’altra. Osservazioni recenti mostrano che gli errori della teoria diventano presto molto sensibili, sebbene decisamente minori per la seconda ipotesi rispetto alla prima. Di seguito sono riportate le differenze di longitudine media, dedotte dalla teoria e dall’osservazione, per le opposizioni del 1843, 1844 e 1845: ||| Per le osservazioni degli ultimi due anni, sono debitore alla gentilezza dell’Astronomo Reale. I tre anni concordano quasi nel dimostrare che gli errori della prima ipotesi stanno a quelli della seconda nel rapporto di 5 a 4, da cui ho dedotto, in una lettera all’Astronomer Royal, datata 2 settembre 1846, che l’ipotesi di a/a’ = sin 35° = 0,574, avrebbe probabilmente soddisfatto quasi del tutto le osservazioni.
- I risultati che ho dedotto dalle osservazioni del pianeta del Professor Challis confermano fermamente l’inferenza secondo cui la distanza media dovrebbe essere considerevolmente diminuita. È ovviamente impossibile determinare con precisione, senza calcoli effettivi, la variazione di longitudine che verrebbe prodotta da una tale diminuzione della distanza. Confrontando i valori di ||| forniti dalle due ipotesi, si può tuttavia osservare che se assumessimo valori progressivamente più piccoli per la distanza media, i valori trovati per la longitudine media nel 1810 continuerebbero probabilmente a diminuire, mentre allo stesso tempo il moto medio dal 1810 al 1846 aumenterebbe rapidamente, cosicché i corrispondenti valori della longitudine media al momento attuale probabilmente raggiungerebbero presto un minimo, per poi ricominciare ad aumentare. Credo che questo sia il motivo per cui la longitudine trovata supponendo un valore troppo elevato per la distanza media concorda così strettamente con l’osservazione. Poiché non avevo tenuto sufficientemente conto dell’aumento del moto medio, nella mia lettera all’Astronomo Reale sopra menzionata ho frettolosamente dedotto che l’effetto di una diminuzione della distanza media sarebbe stato quello di diminuire la longitudine media.
- Ho già accennato al fatto che ritenevo poco sicuro utilizzare le osservazioni di Flamsteed del 1690 per formulare le equazioni di condizione, dato l’intervallo tra queste e tutte le altre. La differenza tra queste e la teoria sembra essere molto considerevole, e maggiore per la seconda ipotesi che per la prima, con errori rispettivamente di +44,5 e +50,0. Questi errori probabilmente aumenterebbero diminuendo la distanza media. Sarebbe auspicabile che i manoscritti di Flamsteed fossero esaminati con riferimento a questo punto.
- La correzione del raggio vettore tabulare di Urano può essere facilmente dedotta da quella della longitudine media mediante la seguente formula: ||| dove |||, indica la correzione complessiva della longitudine media al tempo t, ||| i assumendo tutti i valori integrali positivi e negativi escluso lo zero.
- Sostituendo in questa formula i valori |||, già ottenuti, e ponendo a = 19,191, troviamo i seguenti risultati corrispondenti ai due valori assunti della distanza media. |||
- I valori ||| per diversi degli ultimi anni sono i seguenti: ||| Quindi, per mezzo delle formule di cui sopra, troviamo che le correzioni del raggio vettore tabulare sono |||
- Di gran lunga la parte più importante di queste correzioni deriva dal termine |||, e può quindi essere immediatamente dedotta da un confronto tra il moto angolare osservato di Urano e quello fornito dalle tabelle. Infatti, le correzioni fornite da questo solo termine per le epoche sopra menzionate sono ||| che, come vediamo, differiscono pochissimo dai valori completi appena trovati. La correzione per il 1834 concorda quasi del tutto con quella che il signor Airy ha dedotto dalle osservazioni nelle Astronomische Nachrichten. Le correzioni per gli anni successivi sono piuttosto maggiori di quelle fornite dalle Osservazioni di Greenwich, essendo i risultati della seconda ipotesi, come nel caso della longitudine, più vicini alla verità di quelli della prima.
- Ho tentato, discutendo le osservazioni di latitudine, di trovare valori approssimativi della longitudine del nodo e dell’inclinazione dell’orbita del pianeta perturbatore, ma i risultati non sono stati soddisfacenti. Le perturbazioni della latitudine sono, infatti, estremamente piccole e, durante il periodo relativamente breve di tre quarti di rivoluzione, si confondono quasi del tutto con gli effetti di una costante alterazione dell’inclinazione e della posizione del nodo di Urano, cosicché anche piccolissimi errori nelle osservazioni possono inficiare completamente il risultato.
- Le perturbazioni di Saturno prodotte dal nuovo pianeta, sebbene piccole, saranno comunque sensibili, e sarebbe interessante indagare se, se fossero prese in considerazione, i valori delle masse di Giove e Urano ricavati dalla loro azione su Saturno sarebbero più coerenti con quelli determinati con altri mezzi di quanto non sembrino attualmente. La riduzione delle osservazioni planetarie di Greenwich rende tale indagine relativamente facile, e c’è da sperare che gli astronomi inglesi non saranno gli ultimi ad avvalersi dei tesori di osservazione così svelati al mondo.
J. C. ADAMS. St. John’s College, Cambridge, November 12, 1846.
Fabiozugno Astronomia 